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1次元井戸型ポテンシャル

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量子力学

|無限に深い1次元井戸型ポテンシャルの波動関数メモ

question

このポテンシャル V(x)V(x)

V(x)={ 0    (0xL)   (x<0,x>L)(1.1)V(x)=\begin{cases}\ 0 \ \ \ \ (0 \leqq x \leqq L) \\ \infty \ \ \ (x<0,\,x>L) \end{cases} \tag{1.1}

x<0,x>Lx<0,\,x>L の領域では V(x)=V(x)=\infty であり、井戸の外側に出るためには無限のエネルギーが必要となるため、粒子はこの領域に入り込めず ψ(x)=0\psi(x)=0

0xL0 \leqq x \leqq L の領域では V(x)=0V(x)=0 となるので、シュレーディンガー方程式は

22m2ψ(x)x2=Eψ(x)(1.2)-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2}=E\psi(x)\tag{1.2}

と表される。この22階微分方程式の一般解は

ψ(x)=Asinkx+Bcoskx(1.3)\psi(x)=A\sin kx +B\cos kx \tag{1.3}

(ただし k=2mEk=\dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}) で与えられる。ψ(x)\psi(x)は複素関数であったから、AAおよびBBは複素定数。


(1.3)(1.3)式のψ(x)\psi(x)に対し、境界条件を適用。未知数はAABBの2つなので、ψ(0)=0ψ(L)=0\psi(0)=0、\psi(L)=0を条件として考慮。

ψ(0)=0\psi(0)=0より、B=0B=0で、

ψ(x)=Asinkx(1.4)\psi(x)=A\sin kx\tag{1.4}

と書ける。また、ψ(L)=0\psi(L)=0 とすると波数kkについて、

k=πLn(1.5)k=\dfrac{\pi}{L}n\tag{1.5}

が必要。ここでnnは自然数であり、波数kkは離散値をとることが分かる。ある自然数nnに対応するkkknk_nとして、それに対応して波動関数、エネルギーをそれぞれψn(x)\psi_n(x)EnE_nと書く。

kkの定義式より、

En=2kn22m=2π22mL2n2(=h28mL2n2)(1.6)E_n=\dfrac{\hbar^2 k_n^2}{2m}=\dfrac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2}n^2\left(=\dfrac{h^2}{8m L^2}n^2\right)\tag{1.6}

境界条件だけでは複素係数AAが定まらないので、以下の規格化条件を利用。

0Lψn(x)2dx=1(1.7)\int^{L}_{0}|\psi_n(x)|^2 dx=1\tag{1.7}

これに(1.4)(1.4)式を代入。

    0Lψn(x)2dx=0LAsinknx2dx=A20Lsin2knx dx=A20L1cos2knx2 dx=A22[x12knsin2knx]0L=A22{(L0)+12kn(sin2nπsin0)}=A2L2\begin{aligned} & \ \ \ \ \int^{L}_{0}|\psi_n(x)|^2 dx \\ &=\int^{L}_{0}|A\sin k_{n}x|^2 dx \\ &= A^2 \int^{L}_{0}\sin^2 k_{n}x\ dx \\ &= A^2 \int^{L}_{0}\dfrac{1-\cos 2 k_{n}x}{2}\ dx \\ &=\dfrac{A^2}{2} \left[x-\dfrac{1}{2 k_{n}}\sin 2 k_{n}x\right]^{L}_{0} \\ &=\dfrac{A^2}{2} \left\{(L-0)+\dfrac{1}{2 k_{n}}\left(\sin 2n\pi-\sin 0\right)\right\} \\ &=\dfrac{A^2 L}{2} \end{aligned}

これより

A2L2=1\dfrac{A^2 L}{2}=1

となるので、

A=2L(1.8)A=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\tag{1.8}

と求められる。
よってこの系の波動関数ψn(x)\psi_n(x)

ψn(x)=2Lsinknx(1.9)\psi_n(x)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin k_{n}x\tag{1.9}

となる