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エルミート演算子のいろいろ

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量子力学でのエルミート演算子について

共役演算子

(ϕ,Xψ)=(Yϕ,ψ)(\phi, X\psi)=(Y\phi, \psi)

を満たす演算子 YY のことを,演算子 XX の共役演算子という.このとき,

Y=XY=X^{\dagger}

と書く.

エルミート演算子

X=XX^{\dagger}=X

つまり,

(ϕ,Xψ)=(Xϕ,ψ)(\phi, X\psi)=(X\phi, \psi)

を満たす演算子 XX のことを,エルミート演算子という.

エルミート演算子の固有値は実数であることの証明

あるエルミート演算子 A^\hat{A} に対して,その固有状態を ai|a_i \rangle 、固有値を複素数 aia_i とする(添え字 ii は0を含む自然数).すなわち ii 番目の固有値方程式は

A^ai=aiai(1)\hat{A} |a_i \rangle = a_i |a_i \rangle \tag{1}

と表される.エルミート性より A^=A^\hat{A}^{\dagger} =\hat{A} なので,jj 番目の固有値方程式の両辺のエルミート共役をとると,

ajA^=ajaj(2)\langle a_j | \hat{A}=a_j^* \langle a_j| \tag{2}

となる.式(1)の両辺に左から aj\langle a_j | をかけ,式(2)の両辺に右から ai|a_i \rangle をかける.

ajA^ai=aiajai(3)\langle a_j | \hat{A} |a_i \rangle = a_i \langle a_j |a_i \rangle \tag{3}
ajA^ai=ajajai(4)\langle a_j | \hat{A} |a_i \rangle = a_j^* \langle a_j|a_i \rangle \tag{4}

ゆえに

(aiaj)ajai=0(5)(a_i -a_j^{*})\langle a_j |a_i \rangle =0 \tag{5}

となるから, i=ji=j のとき,\langle a_i |a_i \rangle \neq 0 $ なので $a_i=a_i^{*} である.複素共役が不変なので aia_i は実数である.つまり,エルミート演算子の固有値は実数であることが示される.

エルミート演算子の固有値と直交性

エルミート演算子の固有値が実数であるから, aj=aja_j^{*}= a_j .よって iji \neq j のとき,aiaj=aiaj0a_i - a_j^{*} = a_i - a_j \neq 0 なので,式(5)より

ajai=0\langle a_j |a_i \rangle = 0

つまり,異なる固有値に対応する固有状態は直交する